Esta es la documentación que necesitas:

Documento donde se reconoce tu número PPS
Contrato de empleo o carta de recomendación de tu empleador dirigida al banco.
Documento que confirme tu lugar de residencia (esto puede variar dependiendo del banco y el empleado en cuestión: puede valer desde el mismo contrato de trabajo o PPS si no has cambiado de dirección hasta una factura de tu actual lugar de residencia)

En tu intento por conseguirlo te dará la impresión que en ningún banco se dan muchísima prisa por hacerte una cuenta, sorprendentemente no andan detrás de nuevos clientes como locos, el nivel de exigencia y servicio no es el mismo incluso en oficinas del mismo banco y que se pueden contradecir a si mismos en los documentos que son imprescindibles, jugando un poco al despiste.
Un truco que hemos tenido que usar mucha gente es ir siempre a las mismas oficinas e intentar perseguir al mismo empleado para que te haga la gestión, si le acorralas (muy amablemente) con todos los papeles no le quedará otra que abrirte la cuenta.

Para terminar, algunos de los bancos que operan en Irlanda:

AIB-Anglo Irish Bank
BOI-Bank of Ireland
Permanent TSB
Ulster Bank
Halifax

No podemos recomendar uno especialmente, la red de cajeros propia solo es amplia para AIB y Bank of Ireland aunque los cajeros en tienda no cobran comisiones para TSB, si cobran para BOI y desconozco si cobran para el resto. En cuanto a servicios web la pagina del TSB los servicios disponibles son muy escasos, por ejemplo debes validar las cuentas a las que quieres enviar dinero, es bastante mejor para BOI.